Idealnie prosty pręt istnieje tylko w modelu obliczeniowym. Rzeczywisty element ma wstępne wygięcie i naprężenia własne po walcowaniu lub spawaniu, a słup w ramie nigdy nie stoi idealnie pionowo (patrz rysunek 1). Eurokod 3 każe nam się z tymi niedoskonałościami zmierzyć. Powstaje tylko pytanie: kiedy i jak?

W artykule zestawiamy najważniejsze różnice i podobieństwa między pierwszą a drugą generacją normy PN-EN 1993-1-1 [1, 2] w zakresie imperfekcji prętowych. Szczególną uwagę poświęcamy nowym zasadom wyznaczania imperfekcji łukowych i przechyłowych oraz temu, jak przekładają się one na ocenę nośności elementów. Teorię konfrontujemy z liczbami w dwóch przykładach obliczeniowych: ściskanego słupa i zginanej belki.

Dla uproszczenia w dalszej części artykułu przyjmujemy oznaczenia EC3(#1) i EC3(#2), odnoszące się odpowiednio do pierwszej [1] oraz drugiej [2] generacji normy PN-EN 1993-1-1:2006 i PN-EN 1993-1-1:2024.

Rysunek 1. Imperfekcje geometryczne w konstrukcjach prętowych.

1. Czy, kiedy i jak uwzględniać imperfekcje wg EC3?

W obliczeniach prętowych konstrukcji stalowych rozpatruje się przede wszystkim dwa typy imperfekcji: przechyłową (początkowy przechył układu ramowego Δ_i) i łukową (wstępne wygięcie prętów δ_i). Oba zjawiska wzmacniają efekty drugiego rzędu: siły zewnętrzne wykonują pracę na przemieszczeniach globalnych układu konstrukcyjnego, natomiast siły osiowe w poszczególnych elementach, działając na ich lokalnych wygięciach, powodują powstanie dodatkowych momentów zginających. Trzeci typ, imperfekcje systemów stężeń, pozostawiamy poza zakresem tego artykułu.

1.1. Imperfekcja przechyłowa — kiedy można ją pominąć?

Obie generacje normy pozwalają pominąć imperfekcję przechyłową, jeżeli spełniony jest warunek (W.1). Gdy warunek nie jest spełniony, przechył trzeba uwzględnić w modelu obliczeniowym. Można to zrobić bezpośrednio jako pochylenie konstrukcji, albo pośrednio, w postaci zastępczych sił poziomych (patrz rysunek 2).

(W.1)

Rysunek 2. Schemat decyzyjny dla wprowadzenia imperfekcji przechyłowej.

1.2. Imperfekcja łukowa — dwa podejścia obliczeniowe

Z imperfekcją łukową sprawa jest ciekawsza, bo sposób jej uwzględnienia zależy od przyjętej metody obliczeniowej (patrz rysunek 3). W praktyce projektowej funkcjonują dwa podejścia.

Podejście 1 — metoda elementów wydzielonych

Siły wewnętrzne wyznaczamy najczęściej z analizy liniowej [3], a imperfekcji łukowych w ogóle nie wprowadzamy do modelu. Ich wpływ „ukryty” jest w procedurach normowych: współczynnikach wyboczenia (χ_y, χ_z) i zwichrzenia (χ_LT), wyznaczanych na podstawie smukłości względnych i krzywych wyboczenia. Model geometryczny pozostaje więc idealny, a imperfekcje redukują nośności elementów na wyboczenie N_b,Rd (W.2) i na zwichrzenie M_b,Rd (W.3).

(W.2)

(W.3)

Podejście 2 — analiza nieliniowa (GNIA)

Tutaj imperfekcję wprowadzamy do modelu wprost: stanem początkowym analizy jest konstrukcja o zdeformowanej, nieidealnej geometrii, najczęściej w formie odpowiednio przeskalowanych postaci wyboczeniowych [5]. Ocena nośności sprowadza się do sprawdzenia stopnia wytężenia przekroju krytycznego [4].

(a)

(b)

Rysunek 3. Dwa sposoby uwzględnienia imperfekcji: pośrednio przez współczynniki χ (a) i bezpośrednio w modelu (b).

Zasadnicza różnica sprowadza się do sposobu reprezentacji imperfekcji: w analizie liniowej ich wpływ uwzględniamy pośrednio (współczynniki χ_y, χ_z, χ_LT), podczas gdy w analizie nieliniowej są one jawnym elementem modelu. Podejście nieliniowe pozwala znacznie dokładniej odwzorować rzeczywistą pracę konstrukcji, a mianowicie efekty drugiego rzędu, redystrybucję sił wewnętrznych, interakcję imperfekcji globalnych i lokalnych.

Ta dokładność ma jednak swoją cenę. Trzeba świadomie dobrać postać imperfekcji, jej skalę i sposób wprowadzenia do modelu numerycznego. W układach złożonych - a za taki można uznać już typową ramę portalową - dochodzi konieczność uwzględnienia współdziałania wielu postaci wyboczenia i odpowiedniego składania imperfekcji. Nie zawsze też od razu widać, która ich kombinacja da najbardziej niekorzystną odpowiedź konstrukcji. Wszystko to bezpośrednio wpływa na wiarygodność wyznaczanej nośności.

2. Imperfekcje wg EC3(#2) a imperfekcje wg EC3(#1)

Poniżej omawiamy kolejne rodzaje imperfekcji według zapisów EC3(#2) [2] — jak je definiować, wyznaczać i uwzględniać w analizie. Każde zagadnienie opatrujemy komentarzem odnoszącym się do EC3(#1) [1]: wskazujemy, co się zmieniło, a co pozostało bez zmian.

2.1. Imperfekcje przechyłowe w ustrojach ramowych

W ustrojach ramowych przechyłowych (niestężonych) wpływ imperfekcji w analizie globalnej uwzględnia się za pomocą imperfekcji zastępczej w formie wstępnej imperfekcji przechyłowej ϕ (rysunek 4). W AxisVM definiowane jest to jako odrębny przypadek obciążenia, dzięki czemu można go aktywować w wybranych kombinacjach.

Rysunek 4. Wstępne imperfekcje przechyłowe wprowadzone w AxisVM.

W EC3(#2) wstępną imperfekcję przechyłową ϕ wyznacza się ze wzoru (W.4).

(W.4)

Co się zmieniło względem EC3(#1)? Dwie rzeczy. Po pierwsze, wartość podstawowa: pierwsza generacja normy nie rozróżniała analizy sprężystej i plastycznej, przyjmując stałą wartość równą 1/200. W nowym ujęciu przy weryfikacji sprężystej możemy więc przyjąć imperfekcję nawet dwukrotnie mniejszą. Po drugie, współczynnik α_h: w EC3(#1) obowiązywało jego dolne ograniczenie równe 2/3, którego w zaktualizowanej normie już nie znajdziemy — w konstrukcjach wyższych niż 9 m przechył maleje więc dalej wraz z wysokością (patrz rysunek 5).

Rysunek 5. Współczynnik redukcyjny α_h w funkcji wysokości konstrukcji – porównanie EC3(#1) i EC3(#2)

2.2. Zastępcze imperfekcje łukowe

Nowa generacja normy rozróżnia imperfekcję łukową dla wyboczenia giętnego e₀ oraz — po raz pierwszy jako niezależny parametr — imperfekcję dla zwichrzenia e_0,LT (o niej w punkcie 2.4). Imperfekcję e₀ dla elementów narażonych na wyboczenie giętne wyznaczamy według (W.5).

(W.5)

Tablica 1. Krzywe wyboczenia wg EC3(#2) [2] z zaznaczonymi różnicami w stosunku do EC3(#1) [1] — komórki, w których nastąpiła zmiana, wyróżniono kolorem

Zmiany zestawione w tablicy 1 dotyczą przede wszystkim dwuteowników walcowanych i ich wyboczenia względem słabszej osi (z–z). Podczas gdy w EC3(#1) korzystniejsza krzywa wyboczeniowa przysługiwała wyłącznie stali S460, w EC3(#2) rozszerzono jej zastosowanie na całą grupę stali wysokowytrzymałych — od S460 aż do S700 — i odpowiednio dostosowano przypisanie krzywych.

Tablica 2. Współczynniki α wg EC3(#1) [1] i EC3(#2) [2]

Tablica 3. Referencyjna względna imperfekcja łukowa β w EC3(#2)

Dla porównania — w EC3(#1) imperfekcję łukową opisywał prostszy wzór (W.6).

(W.6)

Tablica 4. Wartości parametru X zgodne z EC3(#1) [1]

Same wzory (W.5) i (W.6) różnią się formą, ale najciekawsze jest to, jak te różnice przekładają się na liczby. W tablicy 5 zestawiliśmy imperfekcje łukowe dwuteownika IPE 200 wyznaczone według obu generacji normy — dla dwóch gatunków stali (S235 i S460) oraz dwóch rodzajów analizy: sprężystej i plastycznej. Rysunek 6 uzupełnia to zestawienie o graficzne porównanie wartości e₀ dla wyboczenia względem osi y-y i z-z w funkcji gatunku stali (analiza sprężysta).

Tablica 5. Imperfekcje łukowe dla IPE 200 (L = 5 m) – porównanie EC3(#1) i EC3(#2)

Wartości α podano w nawiasie przy oznaczeniu krzywej wyboczenia (por. tablica 2).

Rysunek 6. Imperfekcje łukowe dla wyboczenia względem osi y i z – porównanie EC3(#1) oraz EC3(#2).

Z zestawienia płyną trzy obserwacje:

• imperfekcje łukowe według EC3(#2) są w analizie sprężystej wyraźnie mniejsze niż według EC3(#1) — w rozpatrywanym przykładzie o ok. 40–60%; w analizie plastycznej różnice są mniejsze, a dla stali S460 i osi z-z imperfekcja wg EC3(#2) okazuje się nawet większa;
• w EC3(#1) wartości imperfekcji były stałe dla „zwykłych” gatunków stali i zmieniały się skokowo dopiero dla S460; w EC3(#2) zależą od gatunku stali w sposób ciągły — poprzez parametr ε;
• w EC3(#2) imperfekcja dla wyboczenia względem osi z-z jest mniejsza niż dla osi y-y — dokładnie odwrotnie niż w pierwszej generacji normy.

2.3. Przykład obliczeniowy: słup ściskany

Porównajmy nośności wyboczeniowe N_b,Rd,y oraz N_b,Rd,z, wyznaczone metodą elementów wydzielonych — na podstawie analizy liniowej (LA) i współczynników redukcyjnych χ_y i χ_z — z wynikami analizy geometrycznie nieliniowej z imperfekcjami (GNIA). Kształt imperfekcji przyjmujemy jako postać wyboczenia elementu otrzymaną z analizy wyboczeniowej modelu prętowego z elementami 7DoF (patrz rysunek 7). Obliczenia przeprowadzimy według EC3(#1) i EC3(#2), a wyniki zestawimy w tablicy 6.

Dane: słup o przekroju HEA 200 i wysokości 5,0 m, ze stali S235, ściskany siłą N_Ed = 500 kN (ciężar własny pominięto). Słup jest obustronnie zamocowany przegubowo, więc jego długości wyboczeniowe w obu płaszczyznach są równe: l_w,y = l_w,z = 5,0 m.

Rysunek 7. Model słupa oraz postacie wyboczenia względem osi y-y i z-z.

Tablica 6. Zestawienie wyników weryfikacji SGN słupa wg EC3(#1) i EC3(#2)

Generacja normy	Analiza liniowa (LA)		Imperfekcje łukowe		Analiza nieliniowa (GNIA)
			e0,y	e0,z
EC3(#1)	0,49	0,79	20,0 mm	25,0 mm	0,53	1,12
EC3(#2)	0,48	0,79	17,0 mm	12,3 mm	0,51	0,75

Nośności wyznaczone metodą elementów wydzielonych są w obu podejściach niemal identyczne: dla wyboczenia względem osi y-y wytężenie wynosi 0,49 (EC3(#1)) i 0,48 (EC3(#2)), a dla osi z-z — dokładnie 0,79 w obu generacjach normy. Z perspektywy „klasycznych” obliczeń zmiana normy praktycznie nie wpływa więc na wynik.

Znacznie ciekawiej robi się przy imperfekcjach i analizie GNIA. Wygięcia wstępne według EC3(#2) są wyraźnie mniejsze niż według EC3(#1) — dla osi z-z imperfekcja spadła z 25,0 mm do 12,3 mm. Dla wyboczenia względem osi y-y poziom wytężenia przekroju pozostaje zbliżony: 0,53 wobec 0,51 (dla kształtownika IPE różnica byłaby większa). Za to dla osi z-z różnica jest zasadnicza: według EC3(#1) wytężenie sięga 1,12, co formalnie oznacza przekroczenie nośności przekroju i utratę stateczności elementu, podczas gdy według EC3(#2) wynosi 0,75 i jest spójne z wynikiem metody elementów wydzielonych (0,79). Różnicę tę dobrze widać na mapach naprężeń (patrz rysunek 8).

Rysunek 8. Naprężenia zredukowane σ_HMH z analizy GNIA — imperfekcja wg EC3(#2) (a) i EC3(#1) (b), legenda kolorów (c).

Uwaga na marginesie: stopień wykorzystania słupa można też sprawdzić bezpośrednio w module wymiarowania AxisVM. W tym celu wystarczy w parametrach wymiarowania wskazać, że dla wyników ze statycznej analizy nieliniowej z uwzględnionymi imperfekcjami program ma przyjąć χ = 1 (stateczność jest już ujęta w geometrii modelu i efektach II rzędu). 

Tak uzyskane wykorzystanie wyjdzie jednak nieco niższe niż w przedstawionej wyżej ocenie naprężeniowej. To nie błąd: dla przekroju klasy 1 lub 2 moduł wymiarowania korzysta z nośności plastycznej przekroju (wskaźnik W_pl), podczas gdy kryterium naprężeń zredukowanych σ_HMH ≤ f_y odpowiada pracy sprężystej (W_el). Jeżeli w parametrach wymiarowania wyłączymy automatyczne określanie klasy przekroju i wymusimy klasę 3, wyniki z raportu zbiegają się z oceną naprężeniową.

2.4. Imperfekcja przy zwichrzeniu

W EC3(#2) imperfekcja związana ze zwichrzeniem stała się niezależnym parametrem, opisanym wprost wzorem (W.7). W EC3(#1) uwzględniano ją pośrednio — jako imperfekcję giętną względem osi słabszej e_0,z przemnożoną przez współczynnik redukcyjny k = 0,5 (wartość zalecana).

(W.7)

Tablica 7. Referencyjna względna imperfekcja łukowa przy zwichrzeniu wg EC3(#2)

Porównanie wartości imperfekcji przy zwichrzeniu dla dwuteownika IPE o długości 5 m — w zależności od gatunku stali — przedstawia rysunek 9.

Rysunek 9. Imperfekcje łukowe przy zwichrzeniu – porównanie EC3(#1) oraz EC3(#2).

2.5. Przykład obliczeniowy: belka zginana

Sprawdźmy stopień wykorzystania belki zginanej — ponownie metodą elementów wydzielonych oraz analizą nieliniową (GNIA), w obu wariantach Eurokodu 3. 
Dane: belka o przekroju IPE 300 swobodnie podparta o rozpiętości 6 m, wykonana ze stali S355, obciążona obciążeniem liniowy.

W metodzie elementów wydzielonych o wyniku decyduje nośność belki na zwichrzenie M_b,Rd, opisana w obu generacjach normy wzorem (W.3). Różnica tkwi w algorytmie wyznaczania współczynnika zwichrzenia χ_LT — oba algorytmy prześledzimy krok po kroku poniżej, a wyniki zestawimy w tablicy 8.

Oba algorytmy prześledzimy osobno. Każda karta zaczyna się od wartości odczytywanych z tablic normowych, po których następują kolejne kroki obliczeniowe — etykiety kroków są w obu kartach takie same, żeby dało się je porównywać.

Dane wspólne dla obu generacji

Obliczeniowy moment zginający

M_y,Ed = 58,50 kNm

Sprężysty moment krytyczny

M_cr = 78,63 kNm

Charakterystyczna nośność przekroju

Smukłość względna przy zwichrzeniu

EC3#1   PN-EN 1993-1-1:2006

Wartości odczytane z tablic normowych:

α_LT = 0,34 — odczyt z tablicy krzywych zwichrzenia (krzywa b)

β = 0,75 — wartość zalecana dla dwuteowników walcowanych

— granica plateau; poniżej niej zwichrzenia się nie redukuje

Parametr ϕ_LT

Współczynnik redukcyjny χ_LT

Nośność na zwichrzenie

EC3(#2)   PN-EN 1993-1-1:2024

Wartości odczytane z tablic normowych:

f_m = 1,05 — tablica 8.6 normy [2]; zależy od rozkładu momentu zginającego — konserwatywnie można przyjąć 1,0

Krzywa zwichrzenia α_LT — wyznaczana ze wzoru, nie odczytywana z tablicy

Smukłość względna przy wyboczeniu giętnym względem osi z-z

Parametr ϕ_LT

Współczynnik redukcyjny χ_LT

Nośność na zwichrzenie

Tablica 8. Ocena nośności na zginanie metodą elementów wydzielonych — porównanie wyników

Teraz GNIA. Zaczynamy od określenia postaci imperfekcji — wczytujemy ją z wyników analizy wyboczeniowej modelu z elementami prętowymi 7DoF. Tylko takie elementy pozwalają wyznaczyć dla belki zamodelowanej prętowo giętno-skrętną postać utraty stateczności przy zwichrzeniu.

Wybranej postaci trzeba następnie nadać właściwą skalę, korzystając z zapisów Eurokodu 3. W przypadku EC3(#1) (krzywa zwichrzenia odpowiadająca krzywej wyboczenia względem osi słabszej):

W przypadku EC3(#2) (dla proporcji przekroju h/b ≤ 2,0):

Skalowanie imperfekcji w programie AxisVM pokazano na rysunku 10, a wczytane imperfekcje według obu generacji normy — na rysunku 11.

Rysunek 10. Skalowanie postaci wyboczenia z analizy wyboczeniowej w celu uzyskania imperfekcji w programie AxisVM.

Rysunek 11. Wczytanie imperfekcji do modelu statycznego w programie AxisVM — odpowiednio EC3(#1) i EC3(#2).

Po wprowadzeniu imperfekcji i przeprowadzeniu analizy nieliniowej (por. rysunek 12) oceniamy stopień wykorzystania belki na podstawie naprężeń zredukowanych w przekroju krytycznym. Wyniki — wraz z rezultatami metody elementów wydzielonych — zestawiono w tablicy 9.

Rysunek 12. Definicja kombinacji obciążeń dla analizy GNIA.

Rysunek 13. Deformacja giętno-skrętna belki i naprężenia zredukowane z analizy GNIA — EC3(#1) (góra) i EC3(#2) (dół).

Tablica 9. Zestawienie wyników dla belki zginanej

Tym razem to EC3(#2) daje wyższe wytężenie: 0,87 wobec 0,74 w metodzie elementów wydzielonych i 0,81 wobec 0,66 w analizie GNIA. Przy zwichrzeniu nowa generacja normy okazuje się więc bardziej konserwatywna — odwrotnie niż przy wyboczeniu giętnym słupa z punktu 2.3. Warto też zauważyć, że w obu generacjach wyniki GNIA są nieco łagodniejsze od wyników metody elementów wydzielonych.

3. Podsumowanie

Zmiany wprowadzone w EC3(#2) wpływają na ocenę nośności zarówno elementów ściskanych, jak i zginanych. Co ważne, nie zawsze w tę samą stronę. Przy wyboczeniu giętnym mniejsze imperfekcje i zmodyfikowane krzywe wyboczeniowe prowadzą w analizach GNIA do mniej konserwatywnej oceny nośności niż według EC3(#1), a wyniki stają się bardziej spójne z metodą elementów wydzielonych. Przy zwichrzeniu jest odwrotnie: nowy algorytm wyznaczania współczynnika χ_LT oraz większa imperfekcja e_0,LT dają ocenę ostrzejszą.

Wniosek praktyczny? W okresie przejściowym, gdy obie generacje normy funkcjonują równolegle, warto rozumieć, skąd biorą się różnice w wynikach. Ma to znaczenie zwłaszcza przy porównywaniu obliczeń wykonanych według różnych wydań Eurokodu 3.

Literatura

[1] PN-EN 1993-1-1:2006 Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych – Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków.
[2] PN-EN 1993-1-1:2024 Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych – Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków.
[3] Pałkowski S., Konstrukcje stalowe. Wybrane zagadnienia obliczania i projektowania, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001, 226 s., ISBN 83-01-13553-0.
[4] Zamorowski J., Gremza G., Modelowanie i analiza stalowych konstrukcji prętowych, Wydanie 1, Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2022, 312 s., ISBN 978-83-01-22224-6.
[5] Biegus A., Projektowanie konstrukcji stalowych zgodnie z PN-EN 1993, „Materiały Budowlane”, 2013, nr 6, s. 38–42.

Najczęstsze pytania

Czy imperfekcję przechyłową trzeba uwzględniać zawsze?

Nie. Obie generacje normy pozwalają ją pominąć, gdy spełniony jest warunek (W.1), czyli gdy obliczeniowe sumaryczne obciążenie poziome wynosi co najmniej 15% obciążenia pionowego. W przeciwnym razie przechył wprowadzamy do modelu bezpośrednio lub jako zastępcze siły poziome (patrz punkt 1.1).

Czy w warunku (W.1) chodzi o siły wewnętrzne, czy o obciążenia zewnętrzne?

O obciążenia przyłożone do konstrukcji. Najszybciej sprawdzić go, porównując sumy reakcji podporowych dla danej kombinacji — z równowagi odpowiadają one sumom obciążeń poziomych i pionowych. Warunek weryfikujemy dla każdej kombinacji osobno (patrz punkt 1.1).

Czym różni się uwzględnianie imperfekcji łukowej w metodzie elementów wydzielonych i w analizie GNIA?

W metodzie elementów wydzielonych imperfekcji nie wprowadza się do modelu — jej wpływ jest ukryty we współczynnikach χ_y, χ_z i χ_LT, a geometria pozostaje idealna. W analizie GNIA imperfekcja jest jawnym elementem modelu: stanem początkowym jest zdeformowana geometria, zwykle w formie przeskalowanej postaci wyboczenia (patrz punkt 1.2).

Czy imperfekcje według EC3(#2) są zawsze mniejsze niż według EC3(#1)?

Nie. Dla wyboczenia giętnego imperfekcje łukowe w analizie sprężystej są wyraźnie mniejsze (w przykładzie z IPE 200 o ok. 40–60%), ale przy zwichrzeniu jest odwrotnie — w przykładzie belki e_0,LT wyniosło 3,7 cm według EC3(#2) wobec 1,5 cm według EC3(#1) (patrz punkty 2.2 i 2.4).

Dlaczego wykorzystanie z modułu wymiarowania AxisVM różni się od oceny naprężeniowej przy analizie GNIA?

Bo dla przekrojów klasy 1 lub 2 moduł wymiarowania korzysta z nośności plastycznej (W_pl), a kryterium naprężeń zredukowanych σ_HMH ≤ f_y odpowiada pracy sprężystej (W_el). Po wymuszeniu klasy 3 w parametrach wymiarowania oba podejścia dają zbieżne wyniki (patrz uwaga w punkcie 2.3).

Dlaczego do wyznaczenia postaci zwichrzenia potrzebne są elementy 7DoF?

Tylko elementy prętowe z siódmym stopniem swobody (spaczenie) pozwalają uzyskać w analizie wyboczeniowej giętno-skrętną postać utraty stateczności belki zamodelowanej prętowo — a właśnie taką postać skalujemy jako imperfekcję przy zwichrzeniu (patrz punkt 2.5).